Plan de remboursement

En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des remboursements et la durée de l'emprunt.

Mise en place mathématique[modifier | modifier le code]

Un capital C emprunté à un taux d'intérêt mensuel t et remboursé par mensualités constantes M conduit à la construction d'une suite arithmético-géométrique. Si $R_{n}$ représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite $(R_{n})\,$ est définie par la relation de récurrence :

R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M\,

.

En effet, comme toute dette, durant un mois, le capital restant dû $R_{n}$ va augmenter de $t\times R_{n}$ si t est le taux d'intérêt mensuel. Comme, au bout d'un mois, il intervient un remboursement d'un montant M, le capital restant dû à l'issue du n+1^ème mois est donc $R_{n+1}=R_{n}+tR_{n}-M$ .

Une première remarque de bon sens consiste à dire que les mensualités doivent être supérieures à $t\times R_{n}$ donc en particulier à $t\times C$ , pour avoir une chance de voir la dette diminuer.

Variables[modifier | modifier le code]

C : capital emprunté
t : taux d'intérêt de la période mensuelle
M : montant de la mensualité constante
m : taux de mensualité constante = M/C
n : nombre d'échéances ou de mois
N : nombre total d'échéances ou de mois

Les formules[modifier | modifier le code]

Une étude de la suite arithmético-géométrique permet de donner $R_{n}$ en fonction de C, M, n et t.

R_{n}=(1+t)^{n}\left(C-{\frac {M}{t}}\right)+{\frac {M}{t}}

^[1].

Comme le but est de rembourser la somme au bout de N mensualités, la relation existant entre C, M, t et N est donc :

(1+t)^{N}={\frac {M}{M-Ct}}={\frac {M/C}{M/C-t}}={\frac {m}{m-t}}

^[2].

Nombre d'échéances[modifier | modifier le code]

On peut en déduire, en fonction de m et t, le nombre de mensualités nécessaires:

N={\frac {\ln(M)-\ln(M-Ct)}{\ln(1+t)}}={\frac {\ln(M/C)-\ln(M/C-t)}{\ln(1+t)}}={\frac {\ln(m)-\ln(m-t)}{\ln(1+t)}}

^[3].

Exemple : si on emprunte 1 000 euros à 0,5 % d'intérêts mensuels (approximativement 6 % d'intérêts annuels) et que l'on rembourse 10 euros par mois, il faut

{\frac {\ln(0,01)-\ln(0,005)}{\ln(1,005)}}=139

mensualités ou

{\frac {\ln(10)-\ln(10-5)}{\ln(1,005)}}=139

mensualités

Soit 11 ans et 7 mois.

Montant de l'échéance[modifier | modifier le code]

On peut aussi déterminer, en fonction de la durée de l'emprunt, le montant des mensualités^[4] :

M=C\times m=C\times {\frac {t}{1-(1+t)^{-N}}}

On préfère souvent parler en nombre d'années A et en taux annuel $i$ . Pour des taux faibles (voir suite géométrique), on peut utiliser l'approximation suivante $t=i/12$ et on obtient alors la formule suivante

M=C\times {\frac {i/12}{1-(1+i/12)^{-N}}}

Exemple une somme de 1000 euros, empruntée sur 10 ans, donc 120 mois, à un taux annuel de 4,8 % nécessite un remboursement mensuel de

{\frac {1000\times (0,048/12)}{1-(1+0,048/12)^{-10*12}}}={\frac {4}{1-1,004^{-120}}}=10,51

euros.

Capital emprunté[modifier | modifier le code]

Il est possible de déterminer le montant du capital emprunté en fonction de la durée de l'emprunt, du taux et du montant des échéances :

C=M\times {\frac {1-(1+t)^{-N}}{t}}

On peut enfin déterminer la somme réellement remboursée, en fonction de la somme empruntée C, de la durée de l'emprunt N en mois et du taux d'intérêt mensuel t.

S=N\times M=C\times {\frac {Nt}{1-(1+t)^{-N}}}

Dans l'exemple précédent, la somme réellement remboursée est de 1 261 euros.

Tableau de remboursement[modifier | modifier le code]

Quand sont décidés la somme empruntée, le taux d'intérêt et la durée du prêt, le montant des mensualités est alors fixé. On présente alors un tableau qui précise, mois par mois, le capital restant dû et la part, dans le remboursement, du remboursement des intérêts et de l'amortissement. Ce tableau permet de connaître, à tout instant, l'état de son compte et la somme à payer en cas de remboursement anticipé.

Exemple avec une somme empruntée de 1 000 euros, une durée du prêt de 10 ans, un taux d'intérêt à 4,8 % et un taux mensuel à 0,4 % :

[PREMIÈRE VERSION] - Plan de remboursement réalisé sur tableur.
A	B	C	D	E	F
Mois	Capital dû	Intérêts remboursés	Capital remboursé	Taux	0,004
1	1000,00€	4,00 €	6,51 €	Mensualités	10,51€
2	993,49 €	3,97 €	6,54 €
3	986,95 €	3.95 €	6,56 €
4	980,39 €	3,92 €	6,59 €
5	973,80 €	3,90 €	6,61€
6	967,19 €	3,87 €	6,64€
...	...	...	...
120	10,47 €	0,04 €	10,47 €

Dans la cellule B3 est rentrée la formule "*=B2(1+$F$1)-$F$2**"
Dans la cellule C2 est rentrée la formule "*=B2$F$1**"
Dans la cellule D2 est rentrée la formule "=B2-B3"

[DEUXIÈME VERSION] - Plan de remboursement réalisé sur tableur.
A	B	C	D	E	F
Montant :	1000,00€
Taux :	4,80%	Taux mensuel :	0,40%
Nb périodes :	120
Mensualités :	10,51€

Mois	Base	Intérêt	Amortissement	Mensualités	Valeur Fin
1	1000,00€	4,00€	6,51€	10,51€	993,49€
2	993,49€	3,97€	6,54€	10,51€	986.96€
3	986,96€	3,95€	6,56€	10,51€	980,39€
4	980,39€	3,92€	6,59€	10,51€	973,81€
5	973,81€	3,90€	6,61€	10,51€	967,19€
6	967,19€	3,87€	6,64€	10,51€	960,55€
...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...
119	20,89€	0,08€	10,43€	10,51€	10,47€
120	10,47€	0,04€	10,47€	10,51€	0,00€

Dans la cellule B4 est rentrée la formule "*=B1D2/(1-(1+D2)^-B3)**"
Dans la cellule D2 est rentrée la formule "=B2/12"
Dans la cellule B7 est rentrée la formule "=$B$1"
Dans la cellule C7 est rentrée la formule "*=B7$D$2**" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule D7 est rentrée la formule "=E7-C7" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule E7 est rentrée la formule "=$B$4" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule F7 est rentrée la formule "=B7-D7" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule B8 est rentrée la formule "=F7" (À étirer jusqu'en bas)

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Grâce à la formule de la somme d'une suite géométrique on peut écrire : $R_{n}=C(1+t)^{n}-M\times \sum _{k=0}^{n-1}(1+t)^{k}=C(1+t)^{n}-M\times {\frac {(1+t)^{n}-1}{t}}=(1+t)^{n}(C-{\frac {M}{t}})+{\frac {M}{t}}$
↑ Au bout de la N^ième année R_N=0 donc : $R_{N}=(1+t)^{N}(C-{\frac {M}{t}})+{\frac {M}{t}}=0\Rightarrow (1+t)^{N}={\frac {M}{M-Ct}}$
↑ La fonction logarithme transforme des multiplications en additions donc : $\ln[(1+t)^{N}]=N\ln(1+t)$
↑ En partant de la note 1 la mensualité constante est : $M=C(1+t)^{N}\times {\frac {t}{(1+t)^{N}-1}}=C\times {\frac {t}{1-(1+t)^{-N}}}$